Le théorème de BAYES

Le théorème de BAYES est le suivant :

• Le terme P(A) est la probabilité a priori de A. Elle est « antérieure » au sens qu’elle précède toute information sur B.
• Le terme P(A|B) est appelée la probabilité a posteriori de A sachant B (ou encore de A sous condition de B). Elle est « postérieure », au sens qu’elle dépend directement de B.
• Le terme P(B|A), est la probabilité de B sachant A.
• Le terme P(B) est appelé la probabilité a priori de B.

Confrontant deux évènements l’un à l’autre, la formule quantifie la probabilité pour l’un d’induire l’autre, remontant ainsi des conséquences vers les causes pour comprendre les phénomènes de la nature.

Cette formule élémentaire a des applications considérables. 

Au cours des siècles qui suivent sa parution, l’intérêt pour cette équation de l’apprentissage statistique semble tomber en sommeil dans le monde académique, malgré un grand nombre d’applications remarquables en ingénierie et en recherche opérationnelle. Sait-on que la plaidoirie de Poincaré pour témoigner de l’innocence de Dreyfus reposait sur la formule de Bayes ? Que celle-ci fut la clé qui permit à Alan Turing de percer le chiffrement des messages cryptés de la machine Enigma employée par l’Allemagne nazie dans ses communications militaires ? Que le Bureau d’Enquêtes et d’Analyses pour la sécurité de l’aviation civile s’est appuyé sur la formule de Bayes pour orienter les recherches de l’épave de l’Airbus AF447 du vol Rio-Paris abîmé en mer le premier juin 2009 ? Chaque jour, dans les PC et les Mac du monde entier, elle permet de débusquer les messages publicitaires (spams) parmi les flots d’e-mails reçus ; on la retrouve aussi à la racine de programmes informatiques qui traquent les fraudes bancaires.

S’appliquant à n’importe quel phénomène, elle produit des résultats, livre des découvertes, établit des vérités. Elle reste pourtant largement méconnue du grand public. Dans le cercle des mathématiciens, elle a donné lieu à des débats violents au point de marginaliser, pendant une bonne partie du 20^ème siècle, les bayésiens.

Exemple1. Réchauffement de la terre

Considérons l’hypothèse H : « le réchauffement moyen de notre planète dépassera les deux degrés d’ici 2070 ». Supposons que sans autre information la probabilité de cette hypothèse est évaluée à 40%. P(H) = 0,4.

Supposons que si cette hypothèse est vérifiée, l’évènement O « la fonte de la calotte glaciaire » a une probabilité de 60% de se réaliser. P(OǀH) = 0,6.

Supposons que la probabilité de l’évènement O est estimée à 30% en l’absence d’information externe. P(O) = 0,3.

La petite formule de Tom Bayes permet d’évaluer la pertinence de ce qu’on croit savoir (H) à l’aune de l’information apportée par une observation (O). P(H|O) = P(H)*P(O|H) / P(O)

P(H|O) = 0,4 * 0,6 / 0,3 = 0,8.

Ce résultat veut dire que, si l’on constate que la calotte glaciaire a fondu, alors la probabilité que le réchauffement moyen de notre planète dépasse les deux degrés d’ici 2070 est de 80%.

Exemple-2. D’où provient l’ivoire de contrebande ?

Sur le site www.mpt2013.fr, Gilles Guillot, de l’Université technique du Danemark, décrit une application originale : les statistiques bayésiennes sont utilisées pour identifier l’origine des ivoires d’Afrique saisis par la douane aux aéroports. L’ADN prélevé sur les ivoires est comparé à celui d’éléphants dont l’origine géographique est bien identifiée ; la formule de Bayes utilise ces informations pour calculer la probabilité que l’échantillon provienne d’une certaine latitude et longitude, et pour identifier ainsi son origine probable. A l’échelle du continent africain, la moitié des échantillons peuvent ainsi être localisés avec une erreur inférieure à 500 km.

Exemple-3. Les élections américaines

Six jours avant les élections présidentielles américaines du 6 novembre 2012, les sondages donnaient les deux candidats à égalité. Le jour même de l’élection, ils enregistraient un écart de 0,7% en faveur de Barak Obama sur Mitt Romney. Dans le monde entier, le suspense est alors à son comble. On craint une élection très serrée, comme en 2004 entre Georges W Bush et John Kerry ou sur le fil du rasoir, comme en 2000 entre Georges W. Bush et Al Gore. Pourtant, ce même jour, un statisticien américain, Nate Silver, 34 ans, donne 92% de chances pour Barak Obama vainqueur. Sur son blog, FiveThirtyEight, il se paye même le luxe d’enregistrer 100% de bonnes prédictions concernant les résultats État par État, Floride comprise alors que le décompte final n’a été connu que le 10 novembre, plusieurs jours après les prédictions de ce blogueur : Nate Silver, lui, donnait 50,3% de chance de victoire à Barak Obama. Ce dernier l’a finalement emporté avec 50% des voix contre 49,1% à Mitt Romney. Dans tous les États, le blogueur a vu juste. Quant au nombre de votes électoraux obtenus par chaque candidat, il avait prédit 313 pour Barak Obama et 225 pour Mitt Romney pour un résultat réel de 332 contre 206. Nate Silver a utilisé la démarche logique basée sur le théorème de Bayes.

Exemple-4 : La justice française se trompe

Éric Zemmour , écrivaillon crypto-sioniste et journaliste politique français, est connu du public pour ses positions hostiles aux immigrés en général, aux Arabes et aux Noirs, en particulier, alors que lui-même est d’origine immigrée.

Il a été condamné par un tribunal français pour avoir déclaré : "la plupart des trafiquants sont noirs et arabes". Cependant, le tribunal qui l’a condamné pour ce « propos raciste » s’est trompé. Car constater, que, statistiquement , "la plupart des trafiquants sont noirs et arabes" est différent de dire que "la plupart des Noirs et des Arabes sont des trafiquants", ce qui serait raciste et donc condamnable.

En appliquant le théorème de Bayes, Jean-Michel Claverie démontre que le premier énoncé n'implique absolument pas le second : il démontre que la proportion (techniquement la "probabilité conditionnelle") des émigrés parmi les délinquants peut largement dépasser 50 % (propos de Zemmour) sans que la proportion des délinquants parmi les immigrés (le propos raciste) soit beaucoup plus élevée qu'elle ne l'est parmi la population « gauloise ». Et si l'on introduit, en plus, le fait avéré que le taux de délinquance est plus fort parmi les tranches de population à bas revenus, là où se situe la majorité des immigrés, on peut même trouver des situations où les immigrés sont simplement plus vertueux que les franchouillards !

La formule (de Bayes) qui aurait dû relaxer immédiatement Zemmour, est :

P(trafiquants|émigrés) = P(immigrés|trafiquants) x P(trafiquants) / P(émigrés)

A = B x C / D

Nous allons nous baser sur les statistiques officielles françaises. Le dernier volume publié (2008) par la statistique judiciaire, dans la série « Les condamnations », donne 2 187 personnes condamnées pour trafic (import, export) de drogues, dont 37 % d'étrangers. Parmi ces étrangers condamnés, 167 sont des ressortissants d'un des trois pays du Maghreb mais surtout 137 sont Marocains (soit 20,5 % des étrangers et 7,6 % de l'ensemble des condamnés), ce qui n'a rien de surprenant puisque le Maroc est le principal producteur de Cannabis alimentant le marché français. En 2008, la France compte 64 millions d’habitants. Donc la probabilité de trouver un trafiquant de drogue dans cette population est de 2187/64000000, soit 0,0034%. Donc C=0,0034%.

• En 2008, les immigrés représentaient 8,4% de la population. Parmi ces immigrés, 43% sont noirs ou Maghrébins. Donc D=8,4% x 43% = 3,6%.
• B=37%.

Ce qui donne A = 0,035%, c'est-à-dire que, sur 20.000 immigrés noirs et arabes, il y aurait en moyenne 7 trafiquants, les 19.993 autres ne le sont pas.

En prenant l’affirmation de Zemmour au pied de la lettre « Plus de la moitié des trafiquants sont noirs ou arabes », et bien qu’elle soit fausse d’après les statistiques officielles ci-dessus, on aurait avec B = 60%, en moyenne 10 trafiquants pour 20.000 immigrés, ou bien 1 sur 2.000 !! Pas de quoi justifier de renvoyer chez eux les 1.999 autres qui ne font rien de répréhensible. Une autre chose que montre ce calcul, c'est l'influence terriblement négative que peut avoir une infime fraction de délinquants sur la perception de la minorité dont ils sont issus.

Une formule adaptée au troisième millénaire

Voici donc l’interprétation qui est attribuée à cette formule, quand on a compris qu’il était possible de mettre la formule en réseau c'est-à-dire comme l’a fait le mathématicien Judea Pearl (spécialiste en intelligence artificielle, prix Turing en 2011) en montrant qu’en alignant des centaines de formules de Bayes, il devait être possible de rendre compte des multiples causes d’un phénomène complexe. Grâce à l’informatique on a établi, dans de nombreux domaines, des réseaux bayésiens où chaque nœud est relié à un autre via la formule de Bayes. C’est ainsi que l’on construit des modèles de phénomènes complexes, même lorsque les observations sont insuffisantes ou noyées dans le bruit parasite.

Remontant inlassablement des événements jusqu'à leurs causes, le réseau de formules de Bayes construit des modèles de phénomènes complexes, même lorsque les observations sont insuffisantes ou noyées dans du bruit parasite. Leur grande force, c'est de faire la synthèse entre le dire des experts et les données brutes de l'observation quand celles-ci sont insuffisantes : la connaissance a priori comble la lacune des mesures. Plus grande est l'ignorance, plus la formule montre de sa puissance...

En faisant appel aux connaissances préalables de l'observateur, détachées des faits eux-mêmes et qui ont un aspect personnel, cette formule donne une image de la réalité extérieure tout en exprimant également la méconnaissance de l'observateur face à cette réalité. De cette petite formule ré-émerge ainsi une idée philosophique depuis longtemps débattue. "Elle nous oblige à penser que les théories et modèles scientifiques reflètent notre représentation de la réalité plutôt que la réalité elle-même. Cette dernière se chargeant de nous fournir des données qui garantissent que notre représentation n'est pas trop éloignée de la vérité", résume Christian Robert, professeur au Centre de recherche en mathématiques de la décision de l’université Paris-Dauphine.

http://numidia-liberum.blogspot.com/2012/11/theoreme-de-bayes-ou-la-formule-magique.html

Hannibal Genséric

Aujourd’hui, ses applications sont extrêmement diverses, comme le mentionne le numéro de la revue Science et vie de Novembre 2012. Au point de se demander pourquoi elle n’est pas ouvertement exploitée par les instituts de sondage. La réponse est peut-être purement économique. Le maintien d’un suspense intense stimule la demande de nouveaux sondages. Avec Bayes, les jeux seraient sans doute faits plus vite. D’où un considérable manque à gagner.