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La détermination de l’optimum de Pareto

Si la définition d’un optimum de Pareto semble très simple, on peut avoir des difficultés à estimer les prix dits prix parétiens dans un modèle d’équilibre général.

Considérons un cadre économique où vivent i=I consommateurs, k=K entreprises et où j=L biens sont disponibles ou produits. On cherche à définir les allocations Pareto-optimales, c’est-à-dire les consommations () et les productions () de chaque bien pour chaque agent. Il n’est pas question dans une telle vision de gaspiller des biens et donc pour les firmes de produire une quantité supérieure à la quantité qu’elle pourra écouler sur le marché grace aux demandes individuelles. On peut donc écrire une première contrainte liant les demandes et les offres :

Chaque consommateur i dispose d’une utilité ui, fonction de toutes ses consommations qu’il cherche à maximiser. On note l’utilité maximum possible.

Chaque entreprise k dispose d’un coût de production Ck fonction de toutes les productions qu’elle cherche à minimiser. On note le coût minimum possible.

Trouver l’optimum de Pareto revient à maximiser l’utilité du premier consommateur, sous les contraintes d’obtenir une utilité maximum pour les autres consommateurs et un coût minimum pour les entreprises. Il faut également que la première contrainte de non-gaspillage soit respectée. Le système suivant peut donc être défini :

Pour résoudre ce problème d’optimisation sous contrainte, il suffit de poser un lagrangien :

Le lagrangien permet d’écrire L(KI) conditions , et  :

En résolvant, et en mettant tout au même dénominateur μ1, on obtient les relations suivantes :

Les μj sont les prix parétiens cherchés. On constate qu’ils correspondent aux mêmes prix walrassiens déterminés par un équilibre général en concurrence pure et parfaite. Les TMS de chaque consommateur et les TTP de chaque producteur s’égalisent aux rapport des prix, et ce quel que soit le bien j.

Il s’agit de la démonstration mathématique du premier théorème du bien-être.

Peut-être que l’auteur pourrait nous expliquer cela dans des termes plus simples ?